В первый раз такой ляп произошёл в апреле 1998 г.: не утверждённый Керенский (ой, пардон, Кириенко) замещал Ельцина, пока президент был за границей.
Второй раз - проект "Путин две тыщи".
Формально заместитель президента - председатель правительства - чиновник, кототрого никто не выбирал.

Таким образом, получаем республиканскую форму правления, но монархическую форму смены власти?

Не думаю, что назначал Ельцин. Назначали те, кто назначил Ельцина. Да и вообще, от смены зицпредседателей суть не меняется.

Кто правит-то у нас?

Про капитализм в зависимых и полузависимых странах читали? Зачёты сдавали по обществоведению и новейшей истории в советских школах и ВУЗах? Тогда должны с лёгкостью ответить на этот вопрос.

Фундаментально: При капитализме правит Капитал.

Более конкретно. В России существует режим полуколониального компрадорского капитализма. Правит сеть экономических и административных кланов в той или иной степени, зависимых и встроенных в глобальную финансовую олигархию, территориальная база которой находится в Северной Америке, Западной Европе и Японии.

Конкретно. Путин является "интерфейсом" в системе правления, которая регулирует отношения между "покровителями" (мировая финансовая элита) и их "младшими партнёрам" в самой России, то есть так называемым российским "национальным капиталом". Сам этот "национальный капитал" также раздирается внутренними противоречиями, но эти противоречия не являются принципиальными, а являются тактическими (например, конфликт между нефтяными концернами и железнодорожной госмонополией).

Читайте "18 Брюмера Луи Бонапарта" Маркса -- выдающийся текст! Там всё о путиноподобных режимах сказано. Меняются исторические обстоятельства -- суть же остаётся той же.